Comme annoncé à la rubrique précédente, la réponse thermique en transitoire d'un empilement Isolant+ Conducteur a été réalisée.
Le modèle se décline de deux manières :
- Empilement (extérieur-Isolant/Conducteur-intérieur),noté IC
- Empilement (extérieur-Conducteur/Isolant-intérieur),noté CI
Le contact conducteur/isolant est considéré comme parfait (pas de résistance thermique).
Matériaux :
Isolant : polystyrène, épaisseur 20cm, a (diffusivité)=1,2.10-6 m2/s
Conducteur : béton, épaisseur 12cm,
a=9.10-7 m2/s
Condition initiale T=10°C dans les deux matériaux.
Et avec les Conditions Limites (CL) (type Neumann) suivantes :
- Extérieur : flux solaire (Fs) et flux convectif (Fc) périodiques (période T de 24h)
Fs=C.sin(2.π.t/T)
C=400W/m2
Et sin(2.π.t/T) imposé à 0 si sinus négatif (pas de flux solaire pour une ½ période correspondant à la nuit)
Fc=he.(Tpext(t)-Te(t)) avec
he=20W/m2/°C
Tpext(t) : inconnue, température de paroi du mur coté extérieur
Te(t)=Tinit+ΔT0.sin(2.π.t/T)
Tinit=10°C
ΔT0=10°C
La température Te varie sinusoïdalement de +/- 10°C autour de la valeur moyenne de 10°C (conditions un peu sévères mais démonstratives).
Dans notre hypothèse, on notera que les deux flux périodiques sont synchrones : dans la réalité la température extérieure peut encore évoluer (inertie du sol) alors que le soleil est déjà couché. Pour la démonstration l’hypothèse retenue est suffisante, mais le déphasage des deux sources pourrait être facilement réalisé …
- Intérieur : flux (Frc) radiato-convectif
Frc=(hc+hr)(Ti-Tpint(t))
Ti=20°C (température imposée dans la pièce)
Tpint(t) : inconnue, température de paroi du mur coté intérieur
hc=10W/m2/°C
hr=4.ε.σ.Ti3, linéarisation du flux radiatif échangé entre parois en considérant que Ti voisin de Tpint
ε : émissivité, prise égale à 1
σ : constante de Stefan : 5,67.10-8 W/m2/K4
Tout l’intérêt de la simulation est de montrer la différence de comportement des 2 empilements en régime transitoire.
En monodimensionnel l’équation de la chaleur, sans source de chaleur interne, se réduit à :
δT(t,x)/δt=a.δ2T(x,t)/δx2
La méthode utilisée pour résoudre cette équation est explicitée en détail ici. Ce n'est pas le sujet ici où nous donnons uniquement les résultats.
1er cas CI : extérieur>>Conducteur/Isolant<<intérieur
Les répartitions de températures dans les murs sont tracées toutes les 1/4h.
(La répartition spatiale de température à un temps donné s'appelle une isochrone).
Le calcul a été arrêté à t0+8h (32 isochrones).
Que voit-on ?
On démarre bien de 10°c (courbe du bas) mais le modèle répond rapidement aux CL qu’on lui impose, en particulier coté intérieur où la paroi est soumise dès t+dt à un flux instantané de #150W/m2 (température imposée de 20°C).
Coté extérieur, le flux reçu varie plus doucement, tempéré par la fonction périodique.
On notera au passage la discontinuité au contact (1er trait rouge) : les densités de flux sont bien égales (-λ1δT/δx1=-λ2δT/δx2) mais les propriétés étant différentes, les gradients le sont aussi.
Autre constat : le béton, conducteur, réagit assez rapidement au flux entrant.
Calcul entre t0+8h et t0+24h.
Tracés toutes les 1/2h (32 isochrones).
A partir de t0+12h le flux solaire est nul, ce qui accélère la baisse du gradient dans le béton.
Début de remontée vers t0+21h car le flux convectif 'repart' (depuis t0+18h).
Calcul entre t0+24h et t0+3jours.
Tracés toutes les heures.
Les isochrones ont ‘remonté ‘puis ‘redescendu’ (influence de la CL extérieure).
Il y a 48 isochrones tracées mais leur nombre parait moins important sur le graphique.
En fait les Conditions Limites périodiques conduisent, après un court régime transitoire, à l’établissement d’un pseudo régime permanent périodique.
Mais la variabilité des CL fait qu’on atteint jamais un vrai régime permanent (pour lequel le gradient serait linéaire dans chaque matériau).
Ceci est vérifié en relançant un calcul depuis t0 sur plusieurs périodes, par exemple 6, soit 6 jours.
Tracés toutes les heures.
Les isochrones déterminent un domaine qui reste constant.
De plus chaque isochrone converge vers une valeur fixe à T près (période de 24h). Les courbes se superposent et s’épaississent.
A noter, à la paroi du polystyrène coté intérieur, le flux est piloté par la température imposée dans la pièce (20°C) : pour les deux gradients déterminant les limites basses et hautes du domaine de variation de la température il vaut # ±2 W/m2.
L’idéal serait de tracer ce réseau en dynamique comme cela le fait à l’affichage pendant le calcul : c’est réalisable mais cela demanderait un peu d’investissement …
Le régime périodique établi est encore plus visible si on trace l’évolution de la température de l’interface béton/polystyrène en fonction du temps.
La simulation est faite sur 6 jours.
La période de 24h est bien visible.
On peut s’étonner que la température de paroi coté extérieur ne descende jamais au voisinage de 0°C alors que la température extérieure fluctue sinusoïdalement entre ±10°C autour de la valeur moyenne 10°C : l’énergie solaire emmagasinée le jour joue un rôle de tampon régulateur dans le mur.
2ème cas IC : extérieur>>Isolant/Conducteur<<intérieur
Les répartitions de températures dans les murs sont tracées toutes les 1/4h.
Le calcul a été arrêté à t0+8h.
(32 isochrones tracées)
A noter l'évolution de température externe de l'isolant qui réagit quasi-instantanément à la C.L. (faible conductivité).
Calcul entre t0+8h et t0+24h.
Tracés toutes les 1/2h (soit 32 isochrones).
Depuis t0+12h le flux solaire est nul.
La température extérieure coté isolant suit quasiment la CL : ici l’amplitude de ±10°C est visible, l’isolant jour son rôle (elle va au-delà des 20°C avec l’apport solaire).
On constate déjà que le béton est presque isotherme, avec une faible variation de température.
Calcul entre t0+24h et t0+3jours.
Tracés toutes les heures.
Les isochrones dans l’isolant ont ‘remonté ‘puis ‘redescendu’.
Il y a 48 isochrones tracées mais leur nombre parait moins important sur le graphique.
Ici dans l’isolant les Conditions Limites périodiques conduisent, après un court régime transitoire, à l’établissement d’un pseudo régime permanent périodique.
Mais la variabilité de la CL fait qu’on atteint jamais un vrai régime permanent (le gradient n’est pas linéaire).
Par contre la température dans le béton est déjà quasiment stable et constante.
La vue d’ensemble est obtenue en relançant un calcul depuis t0 sur plusieurs périodes, par exemple 6, soit 6 jours.
Tracés toutes les heures.
Coté isolant, chaque isochrone converge vers une valeur fixe à T près (période de 24h). Les courbes se superposent.
Ce régime périodique établi est aussi très visible si on trace l’évolution de la température de l’interface béton/polystyrène en fonction du temps.
La simulation est faite sur 6 jours.
La réalité du régime vraiment transitoire, depuis la condition initiale de température, apparait ici : une trentaine d'heures.
La température du béton varie peu, contrairement au cas de la simulation CI, mais toujours de manière périodique (on retrouve bien la période, longue, de 24h).
A la fin du calcul (régime quasi permanent dans le béton) le flux traversant l’épaisseur de béton, comme dans la simulation CI, vaut #2,3W/m2.
Ce qu'il faut retenir de ce cas d'école :
- la température de l'interface est beaucoup moins sensible au caractère périodique des CL externes dans le cas IC (# 1/2°C) par rapport au cas CI (# 25°C).
- en conséquence la température de paroi du mur intérieur en béton (cas IC) est quasi stationnaire quand le régime sinusoidal a dépassé ne serait-ce qu'une période : cette stabilité est synonyme de confort.
- le mur intérieur conducteur (IC) stocke l'énergie et jour le role de régulateur lors du passage d'un épisode froid à un épisode chaud.
Ces avantages confortent ceux déjà identifiés dans la rubrique précédente et plaident pour une isolation extérieure des bâtiments ...CQFD.